MATHEMATIK

Fraktale Mathematik

Im Gegensatz zu einer fallenden Kugel, deren Flugbahn man sehr genau berechnen kann, ist die Vorhersage der Lottozahlen weitaus schwieriger.
Theoretisch wäre dies vielleicht möglich, wenn man die Ausgangsbedingungen genau kennen würde, was zunächst praktisch nicht erreichbar ist, weil es immer Messungenauigkeiten gibt, und selbst theoretisch schwierig wird, weil schließlich quantenmechanische Effekte anfangen eine Rolle zu spielen, welche die Bestimmung
der Ausgangsbedingungen unmöglich machen.
Was bleibt sind Wahrscheinlichkeitsaussagen; man kann berechnen, wie wahrscheinlich eine beliebige Zahlenkombination ist, aber das macht keine Aussage darüber, ob diese Zahlen tatsächlich jemals gezogen werden, oder ob sie nicht sogar gleich dreimal hintereinander drankommen.

Die klassische Mechanik kam im 18. Jahrhundert an ihre Grenzen. Zwar konnte Galileo
die Bewegungen der Jupitermonde vorhersagen, aber nicht die Form einer Schneeflocke, ganz zu Schweigen von Gasen und Flüssigkeiten.
Selbst die Newton'sche Mechanik hatte ihre Grenzen, weil sie von idealisierten Körpern ausging, die in der Wirklichkeit kaum anzutreffen sind. Man ging zwar davon aus, dass
die Mechanik auch auf komplexere Systeme anwendbar sei, aber ein Gas oder eine Flüssigkeit besteht aus Milliarden Molekülen und die klassische Mechanik bekommt genau genommen schon bei drei Körpern, die gleichzeitig miteinander Wechselwirken,
in Schwierigkeiten - was als Dreikörperproblem bezeichnet wird.
Es war an der Zeit eine neue Form der Mathematik zu finden, welche in der Lage war, Aussagen über eine Gesamtheit von Teilchen zu machen.
Es war Zeit für die Wahrscheinlichkeitstheorie und die Statistik.

Die Theorie der Fraktale wurde 1975 von Benoit Mandelbrot ausgearbeitet und hat seit dem ihren Einfluss beim Verständnis der Welt geltend gemacht, ob es nun Schneeflocken sind, Blutgefäße oder komplexe Mengen mit feinsten Strukturen.

Zunächst mal müssen wir uns von der Vorstellung verabschieden, dass Dimensionen immer gradzahlig sind. Um Fraktale zu beschreiben, braucht man gebrochene Dimensionen, die beschreiben, wie gut eine Figur die Dimensionen füllt, in der sie sich befindet.

Eine Gerade besitzt die Dimension eins, denn sie füllt den eindimensionalen Raum vollständig, eine Fläche füllt den zweidimensionalen Raum und hat die Dimension zwei. Legt man einen Faden auf ein Blatt Papier, liegt seine fraktale Dimension aber zwischen eins und zwei, weil er die Fläche in gewisser Weise füllt, man spricht dabei auch von einer effektiven Dimension.

Und dann kommt noch hinzu, dass ein Objekt je nach Betrachtung unterschiedliche effektive Dimensionen haben kann. Ein Wollknäuel von 10 cm Durchmesser aus einem Faden von 1 mm Dicke erscheint aus großer Entfernung, wie ein eindimensionaler Punkt. Aus der Nähe ist es ein dreidimensionales Objekt, aber wenn man noch näher herangeht, wird es ein Gewirr von eindimensionalen Fäden. Und noch näher wird jeder Faden ein eigenes dreidimensionales Gebilde, und dann löst sich der Faden in einzelne Fasern auf - und so weiter, und so weiter.
Dieser Wechsel in den Dimensionen begegnet uns im Grunde bei jedem Objekt, das wir beobachten und die Übergänge zwischen den Dimensionen lassen sich mit unseren neuen fraktalen Dimensionen beschreiben.

Fraktale haben hier aber eine besondere Eigenschaft, ihre Dimension ist eigentlich immer gebrochen und ändert sich nicht mit dem Betrachtungsabstand. Das heißt, sie sind selbstähnlich oder skaleninvariant, ganz gleich, wie nah man ihnen kommt, oder wie weit man sich von ihnen entfernt, sie sehen sich immer ähnlich.

Das Adersystem des Menschen, obwohl es nur 3% des menschlichen Körpers ausmacht, muss es fast jedem Punkt im Organismus möglichst nahe kommen - was für eine hohe fraktale Dimension spricht. Tatsächlich erreichen die Arterien mit ihren 8-30 Verzweigungen vom Herzen bis zu den Kapillaren eine effektive Dimension von 2,7.
Nur die Lunge übertrifft das noch mit einer Dimension knapp unter 3, und das sind lediglich biologische Feinheiten, weil die Zellen nun mal nicht unendlich klein sind.

Dieses Verhalten hat eine sehr praktische Bedeutung für die Lebewesen, denn die Informationen, die für diese Anordnungen nötig sind, ließen sich niemals in all ihrer Komplexität in den Genen speichern. Aber da Fraktale selbstähnlich sind, genügt eine einfache Anweisung für das Ausknospen der einzelnen Verzweigungen.

Das Gleiche gilt nicht nur für Adern und Atemwege, auch die Struktur des Gehirns und der Aufbau von Pflanzen - Anordnung der Blütenblätter oder die Verteilung von Ästen und Blättern an einem Baum - lässt sich fraktal beschreiben.

Trotzdem würde man natürlich gerne wissen, wie stabil die Bahnen in unserem Sonnensystem oder anderen chaotische Systemen tatsächlich sind. Dazu muss man betrachten, wie sich das System in Raum und Zeit verhält.
Am besten macht man einen Schnitt und schaut sich bei einer periodischen (oder wenigstens annähernd periodischen) Bewegung an, an welchem Ort das Objekt
nach einer Periode wieder auftaucht.