MATHEMATIK

Nichtkomutative Geometrie

Ein relativ neuer Zweig der Mathematik, der in den 80er-Jahren von Alain Connes eingeführt wurde. Das Besondere ist, dass man keinen glatten Raum mehr betrachtet, sondern einen quantisierten, der aus vielen kleinen Stückchen besteht. Kommutativ gilt für die Zahlen A und B, da A x B = B x A ist.
In der Nichtkommutativen Geometrie sind A und B allerdings keine Zahlen mehr, sondern Matrizen (Felder aus Zahlen) oder Operatoren (mathematische Vorschriften) und diese kann man nicht mehr vertauschen und dann ist in der Quantenmechanik zum Beispiel
das Produkt aus Ort und Impuls (Masse x Geschwindigkeit) nicht identisch mit dem Produkt aus Impuls und Ort.

Daraus folgt die Heisenberg`sche Unschärfe, die besagt, dass man Ort und
Impuls nicht gleichzeitig bestimmen kann, sondern dass, je genauer man auf den Ort schaut, der Impuls um so unbestimmter wird.

In dieser neuen Geometrie bedeutet das, dass Raum und Zeit, oder auch die einzelnen Raumdimensionen, nicht mehr austauschbar sind. Und analog zur quantenmechanischen Quantisierung der Energie führt das dazu, dass auch Raum und Zeit quantisiert – gestückelt - sind.

Noch einige Zeit dauern wird, bis diese Struktur des Universums
experimentell nachgewiesen werden kann. 2020 sollen drei Satelliten ins Weltall geschossen werden, um Gravitationswellen zu beobachten.
Der Gravitationswellendetektor LISA (Laser Interferometer Space Antenna) könnte
erste Hinweise auf die Geometrie der Raumzeit liefern.
Warum also der ganze Aufwand und diese komplizierte Geometrie, wenn es keine konkreten Hinweise gibt, dass etwas an diesem neuen Modell dran sein könnte?
Weil die verschiedenen Beschreibungen, die wir von unserer Welt haben, nicht zusammenpassen.
Auf der einen Seite steht die Quantenmechanik und beschreibt Vorgänge in sehr kleinen Dimensionen und zwischen einzelnen Teilchen. Auf der anderen Seite lauert
die Relativitätstheorie und erklärt Vorgänge in galaktischen Maßstäben.

Diese neue Geometrie ist ein mathematisches Werkzeug, das erlaubt, Räume
zu beschreiben, die aus diskreten Teilen bestehen, welche über ein Quantenfeld verbunden sind. Ob das Universum tatsächlich in einem derartigen Raumzeitkontinuum existiert, ist noch offen, aber die Möglichkeiten, welche die neue Betrachtungsweise liefert, sind viel versprechend und könnten unser Verständnis von Raum und Zeit einen großen Schritt voran bringen.